1. Όταν κανείς επισκοπεί το παρελθόν, έστω πράγματα που αφορούν τον εαυτό του, ποτέ δεν μπορεί να το κάνει με προσήλωση στην απόλυτη αλήθεια, γιατί πάντοτε βλέπουμε το παρελθόν υπό το πρίσμα του παρόντος. Πάντως νομίζω ότι το ενδιαφέρον μου για την φυσική και τα μαθηματικά εμφανίστηκε εντελώς ξαφνικά στις αρχές του καλοκαιριού του 1966 μόλις είχα τελειώσει την σχολική χρονιά της τρίτης γυμνασίου. Τοτε με επιασε μια απιστευτη διψα για μαθηση στις επιστημες αυτες, και μεσα σε περιπου εναμισυ χρονο ειχα καλυψει ολη την σχολικη υλη καθως και σχεδον ολη την πανεπιστημιακη υλη που απαιτηται για πτυχιο. Η ιδαιτερη εξαψη της φαντασιας που μου προξενουσαν οι εννοιες του χωρου και χρονου, η γεωμετρια του Ρημαν και η σχετικοτητα του Αινσταιν με οδηγησαν στον διαπρεπη Ελληνα σχετικιστη Αχιλλεα Παπαπετρου στο Παρισι, και μεσω αυτου στον Τζων Ουιλερ και στα πανεπιστημιακα εδρανα του Πρινσετον στις αρχες του 1968. To πρωτο εξαμηνο στο Πρινσετον ημουν σχεδον αποκλειστικα απασχολημενος με πειραματα, εφ οσον μεχρι τοτε δεν ειχα καθολου πειραματικη παιδεια. Τον Σεπτεμβριο του 1968 εγινα δεκτος ως μεταπτυχιακος φοιτητης. Ο Ουιλερ με τοποθετησε βοηθο στην ομαδα του Ντικη της παρατηρησιακης κοσμολογιας. Ειχε αντιληφθη ισως οτι θεωρητικος θα γινομουν ουτως η αλλως. Ετσι ειχα την ευκαιρια να συμμετασχω, εστω σαν μασκωτ, στις πρωτες προσπαθειες παρατηρησης της ανισοτροπιας της κοσμικης ακτινοβολιας μικροκυματων και στην κατασκευη του ανακλαστου ακτινων λειζερ που τοποθετησαν οι πρωτοι αστροναυτες στην Σεληνη τον Ιουλιο του 1969. Μετα, μου ανεθεσαν την αναλυση ενος τμηματος των αποτελεσματων για τους παλμους ηλεκτρομαγνητικων κυματων που εκπεμπονται απο το Παλσαρ του αστερισμου του Καρκινου. Εν τω μεταξυ, τον Οκτωβριο του 1969, αφου ειχα περασει τις Γενικες Εξετασεις, αρχισα να μελετω, με την παροτρυνση του Ουιλερ, την λυση Κερρ που περιγραφει μια στασιμη περιστρεφομενη μελανη οπη και ειχε ανακαληφθει το 1963. Στον χωροχρονο Κερρ υπαρχει μια περιοχη που περιβαλλει την μελανη οπη οπου το ανυσμα που αντιστοιχει στην στασιμη συμμετρια βρισκεται εκτος του φωτεινου κωνου. Εκ τουτου αμεσως επεται οτι υπαρχει, σε καθε σημειο της περιοχης αυτης, ενα ανοικτο συνολο ορμων σωματιων που εχουν αρνητικη ενεργεια. Ο Πενροουζ ειχε αντιληφθει το 1969 οτι αυτο δινει την δυνατοτητα να εξαχθει ενεργεια απο την μελανη οπη. Καποτε την ανοιξη του 1970 ο Ουιλερ με παροτρυνε να μελετησω συστηματικα αυτη την εξαγωγη ενεργειας. Επικεντρωθηκα λοιπον στην μειωση της μαζας-ενεργειας της μελανης οπης σαν συνεπεια της απορροφησης ενος σωματιου. Εφοσον οι καταστασεις αρνητικης ενεργειας αντιστοιχουσαν σε στροφορμη του σωματιου αντιθετη απο εκεινην της μελανης οπης, η απορροφηση του σωματιου συνεπαγονταν επισης την ελαττωση της στροφορμης της μελανης οπης. Διαπιστωσα τοτε οτι ισχυει μια ανισοτητα μεταξυ της ενεργειας και της στροφορμης του σωματιου. Θεωροντας την ενεργεια και στροφορμη του σωματιου ως διαφορικα της μαζας-ενεργειας και στροφορμης της μελανης οπης, ειχαμε τοτε μια διαφορικη ανισοτητα. Η ανισοτητα αυτη γραφονταν στην εξης απλη μορφη. Το διαφορικο μιας νεας ποσοτητας ειναι μη-αρνητικο. Την ποσοτητα αυτη την ονομασα "μη-αναγωγιμη μαζα". Το τετραγωνο της ηταν αναλογο με το εμβαδον διατομης του συνορου της μελανης οπης. Το συμπερασμα ηταν οτι οι απειροστοι μετασχηματισμοι σε μια μελανη οπη διακρινονται σε αντιστρεπτους, που διατηρουν την μη-αναγωγιμη μαζα και σε μη-αντιστρεπτους οι οποιοι την αυξανουν. Καποια αναλογια με την θερμοδυναμικη αρχισε ετσι να διαφαινεται, με την μη-αναγωγιμη μαζα, η το εμβαδον, στον ρολο της εντροπιας. Επισης η εκφραση της μαζας-ενεργειας σαν συναρτηση της μη-αναγωγιμης μαζας και της στροφορμης, διαφοριζομενη, εδινε κατι αναλογο με τον πρωτο νομο. Τα συμπερασματα αυτα τα δημοσιευσα τον Νοεμβριο του 1970, περιπου ενα μηνα μετα τα 19 μου γενεθλεια, στο Φυζικαλ Ρηβιου Λεττερς σε μια εργασια με τιτλο "Αντιστρεπτοι και Μη-Αντιστρεπτοι Μετασχηματισμοι στην Φυσικη των Μελανων Οπων". Ετσι αρχισε η επιστημονικη μου σταδιοδρομια. Ενα χρονο αργοτερα ο Χοκινγκ εδωσε μια απλη γενικη αποδειξη οτι το εμβαδον διατομης μιας μελανης οπης ποτε δεν μειωνεται. Αλλο ενα χρονο μετα, ο Μπεκενσταιν, συμμαθητης μου στο Πρινσετον, προχωρησε στην ταυτιση του εμβαδου με εντροπια και εισηγαγε την θερμοκρασια που πηγαζει απο τον πρωτο νομο. Αυτη ηταν η αρχη της θερμοδυναμικης των μελανων οπων.
2. Το φθινοπωρο το 1977 ηταν πολυ σημαντικο για μενα γιατι τοτε εκανα μια μεγαλη στροφη στον επιστημονικο μου προσανατολισμο. Ημουν απο την προηγουμενη χρονια στο Ινστιτουτο Μαξ Πλανκ στο Μοναχο, στην ερευνητικη ομαδα του Γιουργκεν Ελερς. Το κεντρικο θεμα των επιστημονικων συζητησεων της ομαδας ηταν το προβλημα της κινησης δυο σωματων, στην γενικη θεωρια της σχετικοτητας. Αυτο ηταν κατι επικαιρο γιατι απο το 1973 ο Τζοζεφ Ταιλορ παρατηρουσε ενα συστημα δυο αστερων νετρονιων και το 1981 ανακοινωσε για πρωτη φορα σε ενα συνεδριο στο Μοναχο οτι διαπιστωσε την ελαττωση της περιοδου περιφορας του συστηματος, λογω της απωλειας ενεργειας σε κυματα βαρυτητας. Η ακριβης μελετη του επι εικοσαετια του φαινομενου αυτου τον οδηγησε στο βραβειο Νομπελ το 1993. Ο Ελερς ειχε αντιληφθει οτι μια θεωρητικη μελετη του προβληματος σε αυστηρο λογικο πλαισιο ηταν περαν των δυνατοτητων μας εκεινη την εποχη, λογω του οτι δεν ειχαν αναπτυχθει οι απαιτουμενες μαθηματικες μεθοδοι. Του ειμαι εσαει ευγνωμων γιατι διεγνωσε οτι διαθετω μαθηματικο ταλεντο και γιατι μου εστρεψε την προσοχη μου στο γεγονος οτι αυτο που χρειαζεται απο μαθηματικης πλευρας ηταν αποδειξη της υπαρξης καθολικης στον χρονο λυσεως των εξισωσεων του Αινσταιν υπο ορισμενες υποθεσεις για τις αρχικες συνθηκες και η μελετη της ασυμπτοτικης στον χρονο συμπεριφορας της λυσεως. Οι γνωσεις της επιστημονικης κοινοτητας οσον αφορα την υπαξη λυσεων στο γενικο προβλημα αρχικων τιμων για τις εξισωσεις του Αινσταιν περιοριζονταν εκεινη την εποχη στο θεωρημα της Σοκε-Μπρουχα που αφορα την τοπικη στον χρονο υπαρξη λυσεων. Ο Ελερς ηταν εξαιρετικα γενεοδωρος μαζι μου. Μου εδωσε αδεια απεριοριστου χρονου μετ αποδοχων, να παω στο Παρισι και να μελετησω μαθηματικα με την κυρια Σοκε. Ετσι αρχισα την μελετη των διαφορικων εξισωσεων. Οι μαθηματικες γνωσεις μου εκεινη την εποχη ηταν πολυ πενιχρες γιατι ουσιαστικα δεν ειχα προχωρησει απο μαθηματικης αποψεως περαν του σημειου που ειχα φτασει πριν τον ερχομο μου ως φοιτητης στο Πρινσετον. Θυμαμαι ακομα τι εντυπωση μου εκανε οταν για πρωτη φορα διαβασα και καταλαβα το θεωρημα για τοπικη υπαρξη λυσεων ενος μη-γραμμικου συστηματος συνηθων διαφορικων εξισωσεων! Η αποσταση απο ενα τετοιο συστημα μεχρι τις εξισωσεις Αινσταιν, ενος γεωμετρικου μη-γραμμικου συστηματος μερικων διαφορικων εξισωσεων υπερβολικου τυπου, λαμβανοντας υπ οψιν την ισοδυναμια που οριζεται απο την ομαδα ολων των διαφορισιμων ομοιομορφισμων, ηταν βεβαια τεραστια. Ομως το ερευνητικο προγραμμα που ακολουθησα τα επομενα χρονια και κατεληξε το 1991 στο εργο μου με τον Κλαινερμαν για την ευσταθεια του χωροχρονου Μινκοφσκι καταστρωθηκε τοτε και η οφειλη μου στον Ελερς ειναι μεγαλη.
3. Αυτο που εμαθα την περιοδο εκεινη, 1977-1981, απο την Γαλλικη σχολη, ηταν η μαθηματικη αναλυση. Η προσεγγιση της Σοκε-Μπρουχα στις εξισωσεις Αινσταιν, την οποια ακολουθουσα, ηταν η επιλογη των αρμονικων συντεταγμενων, η οποια επετρεπε την αναγωγη των γεωμετρικων εξισωσεων σε ενα συστημα μη-γραμμικων κυματικων εξισωσεων για τις συνιστωσες της μετρικης στο εν λογω συστημα συντεταγμενων. Απο εκει και περα το προβλημα αντιμετωπιζοταν ως ενα καθαρα αναλυτικο προβλημα χωρις να υπεισερχεται πουθενα η γεωμετρια. Αυτη η προσεγγιση επετρεπε μικρη μονο επεκταση περαν της τοπικης υπαρξης. Ομως το 1979 μελετωντας τις εξισωσεις πεδιου Γιανγκ-Μιλλς αντιληφθηκα οτι υπαρχει μια αλλη προσεγγιση που βασιζεται στην αντιστροφη στον χωροχρονο Μινκοφσκι. Αυτη ειναι μια συμμορφη απεικονιση αναλογη με την αντιστροφη στον Ευκλειδιο χωρο που απεικονιζει το εξωτερικο μιας σφαιρας στο εσωτερικο της, απεικονιζοντας το απειρο στο κεντρο της σφαιρας. Η αντιστροφη στον χωροχρονο Μινκοφσκι απεικονιζει το μελλον ενος σημειου στο παρελθον του σημειου απεικονιζοντας την περιοχη που βρισκεται στο μελλον ενος υπερβολοειδους στην φραγμενη περιοχη στο εν λογω παρελθον που βρισκεται στο μελλον ενος δισκου, απεικονιζοντας το φωτοειδες απειρο στον φωτεινο κωνο που αποτελει το συνορο του παρελθοντος του σημειου. Η προσεγγιση αυτη επιτυγχανει καθολικα αποτελεσματα χαρις στην ιδιοτητα των εξισωσεων Γιανγ-Μιλλς να παραμενουν αναλλοιωτες κατω απο συμμορφους μετασχηματισμους. Το 1982 γενικευσα την μεθοδο των συμμορφων απεικονισεων ωστε να εφαρμοζεται σε γενικες κλασεις συστηματων υπερβολικου τυπου υπο την παραδοχη οτι η αποκλιση των αρχικων συνθηκων απο εκεινα που αντιστοιχουν σε μια τετριμμενη καθολικη λυση ειναι αρκουντως μικρη. Μαλιστα απεδειξα οτι σε 4 και ανω χωρικες διαστασεις, υπο αυτην την παραδοχη, η λυση ενος γενικου συστηματος υπαρχει καθολικα. Ο Κλαινερμαν εφτασε ταυτοχρονα στο ιδιο αποτελεσμα με μια διαφορετικη προσεγγιση. Στην φυσικη περιπτωση ομως των 3 χωρικων διαστασεων αποδειξαμε, ο καθε ενας ακολουθοντας την δικη του μεθοδο, την καθολικη υπαρξη των λυσεων μονο υπο μια προσθετη παραδοχη για την δομη του συστηματος την οποια ονομασαμε "μηδενικη συνθηκη". Ομως οι εξισωσεις Αινσταιν σε αρμονικες συντεταγμενες δεν ικανοποιουσαν αυτην την συνθηκη και το προβλημα της καθολικης ευσταθειας του χωροχρονου Μινκοφσκι χρειαστηκε μια δεκαετια ακομα για την επιλυση του και την χρηση πολυ βαθυτερων γεωμετρικων μεθοδων.
4. Κατα την περιοδο 1981-1984 στραφηκα και προς μια αλλη κατευθυνση. Η κατευθυνση που μολις περιεγραψα ηταν η μελετη των λυσεων χωρις υποθεσεις συμμετριας αλλα με μικρες αρχικες συνθηκες. Η αλλη κατευθυνση ειναι η μελετη των λυσεων με σφαιρικη συμμετρια αλλα χωρις περιορισμους στο μεγεθος των αρχικων συνθηκων. Η επιβολη της σφαιρικης συμμετριας ουσιαστικα επιφερει μειωση των χωροχρονικων διαστασεων απο 4 σε 2 οποτε η θεωρια των μη-γραμμικων μερικων διαφορικων εξισωσεων γινεται πολυ ευκολοτερη και δινεται η δυνατοτητα να εξετασουμε τις λυσεις σε περιοχη οπου παρουσιαζουν ποιοτικη συμπεριφορα που διαφερει εντελως απο εκεινη των λυσεων των αντιστοιχων γραμμικων εξισωσεων. Μελετησα λοιπον τις σφαιρικα συμμετρικες εξισωσεις Αινσταιν με υλη της απλουστατης δυνατης μορφης, δηλαδη ενος βαθμωτου πεδιου. Το προβλημα αυτο μου ειχε προταθει απο τον Ουιλερ το 1968 ως ενα μοντελο που θα μας επιτρεψει να εμβαθυνουμε στο προβλημα της βαρυτικης καταρρευσης. Την περιοδο 1981-1984 λοιπον εγραψα μια πρωτη σειρα εργασιων στο μοντελο αυτο, εκ των οποιων η τελευταια και κυριοτερη, με τιτλο "Μια Μαθηματικη Θεωρια Βαρυτικης Καταρρευσης", αποδεικνυε οτι εαν η τελικη μαζα Μποντι ειναι διαφορη του μηδενος τοτε σχηματιζεται μελανη οπη μαζας ισης με την τελικη μαζα Μποντι η οποια περιβαλλεται απο κενο. Επισης προσδιορισε τον ρυθμο αυξησης της μετατοπισης προς το ερυθρο και την ασυμπτοτικη κυματικη συμπεριφορα. Ομως αφησε αναπαντητο το ερωτημα εαν υπαρχουν αρχικες συνθηκες που οδηγουν σε μη-μηδενικη τελικη μαζα Μποντι.
5. Το 1981 επεστρεψα στην Αμερικη και ο πρωτος επιστημων με τον οποιο συνδεθηκα ηταν ο μεγαλος Κινεζος μαθηματικος Σινγκ-Τουνγκ Γιαου. Ειχα στενοτατη επαφη μαζι του για 5 χρονια και η επαφη αυτη επαιξε καθοριστικο ρολο στην διαμορφωση της επιστημονικης μου οντοτητας. Οπως ηδη ανεφερα, το πρωτο μου μαθηματικο πεδιο ηταν η αναλυση και μεχρι την γνωριμια μου με τον Γιαου η γεωμετρια επαιζε πολυ δευτερευοντα ρολο στην σκεψη μου. Αυτο αλλαξε ριζικα με την επιστημονικη επαφη μου με τον Γιαου. Η γεωμετρικη διαισθηση ειναι κατι αναλογο με την φυσικη διαισθηση. Ηταν κατι που διεθετα χωρις προηγουμενως να το εχω αξιοποιησει. Απο τον Γιαου εμαθα πως συνδιαζεται αποτελεσματικα η γεωμετρια με την αναλυση σε αυτο που σημερα ονομαζεται γεωμετρικη αναλυση, πεδιο στο οποιο ο Γιαου υπηρξε ο πρωτεργατης. Μπορω να συνοψισω την συμβολη μου στην επιστημη εκτοτε ως την επεκταση της γεωμετρικης αναλυσης απο το πεδιο των ελλειπτικων διαφορικων εξισωσεων, οπου ο Γιαου την ειχε εφαρμοσει, στο πεδιο των υπερβολικων. Βεβαιως το κινητρο μου για αυτη την επεκταση ηταν η μελετη των δυναμικων προβληματων της φυσικης τα οποια στο βασικο τους επιπεδο εχουν, συμφωνα με τις αρχες της σχετικοτητος, υπερβολικο χαρακτηρα.
6. Το πρωτο εργο γεωμετρικης αναλυσης υπερβολικων διαφορικων εξισωσεων ηταν το εργο μου με τον Κλαινερμαν "Η Καθολικη Μη-Γραμμικη Ευσταθεια του Χωρου Μινκοφσκι", εργο που δημοσιευτηκε ως μονογραφια 500 σελιδων και αποτελεσε σταθμο στην σταδιοδρομια και των δυονων μας. Ηταν αποτελεσμα εντατικης προσπαθειας της περιοδου 1984-1991. Το εργο αυτο απεδειξε την ευσταθεια του επιπεδου χωροχρονου της ειδικης θεωριας της σχετικοτητος στο πλαισιο της γενικης θεωριας. Επισης εδωσε μια λεπτομερη περιγραφη της ασυμπτοτικης συμπεριφορας των λυσεων. Στην ουσια, μια αρχικη διαταραχη στο υφαδι του χωροχρονου διαδιδεται, οπως η διαταραχη σε μια ησυχη λιμνη που προκαλειται απο το ριξιμο μιας πετρας, με κυματα, τα βαρυτικα κυματα. Ομως, οπως εδειξα σε μια περαιτερω εργασια του 1991 με τιτλο "Η Μη-Γραμμικη Φυση της Βαρυτητας και τα Πειραματα Βαρυτικων Κυματων", υπαρχει μια λεπτη διαφορα απο το παραδειγμα της λιμνης. Γιατι, μολονοτι ο χωροχρονος γινεται ξανα, οπως η λιμνη, επιπεδος μετα την παρελευση των κυματων, ο τελικος επιπεδος χωροχρονος σχετιζεται κατα μη-τετριμμενο τροπο με τον αρχικο επιπεδο χωροχρονο, και τουτο οδηγει σε ενα παρατηρησιμο φαινομενο, την μονιμη μετατοπιση των πειραματικων μαζων ενος ανιχνευτου βαρυτικων κυματων. Το φαινομενο αυτο που ονομασα "φαινομενο μνημης" ειναι μη-γραμμικο εφοσον απουσιαζει στην γραμμικοποιημενη θεωρια. Επι πλεον εδειξα οτι στην περιπτωση οπου τα βαρυτικα κυματα προερχονται απο ενα πολλαπλο συστημα ουρανιων σωματων, που ειναι η περιπτωση οπου επικεντρωνεται το φυσικο ενδιαφερον, αυτη η καθαρα μη-γραμμικη μονιμη μετατοπιση των πειραματικων μαζων ειναι της ιδιας ταξεως μεγεθους με την μεγιστη στιγμιαια μετατοπιση ασχετως με το ποσο σχετικιστικο ειναι το ουρανιο συστημα. Στο φαινομενο μνημης οδηγηθηκα ως εξης. Ειχα προηγουμενως ανακαλυψει ενα γεωμετρικο αναλλοιωτο που εχει να κανει με την ασυμπτοτικη συμπεριφορα φυλλωσεων απο χαρακτηριστικες υπερεπιφανειες. Δεν γνωριζα ομως την φυσικη του σημασια. Εκεινη την εποχη ημουν καθηγητης στο Ινστιτουτο Κουραντ του Πανεπιστημιου της Νεας Υορκης αλλα εμενα σε μια περιοχη της πολιτειας Νιου Τζερσευ, κοντα στα εργαστηρια Μπελλ. Επομενως τις καθημερινες πηγαινοερχομουν με το τραινο στην δουλεια μου. Ενα βραδυ λοιπον επιστεφοντας απο την Νεα Υορκη, διαβαζα στο τραινο ενα ενημεροτικο περιοδικο του Εθνικου Ιδρυματος Ερευνων των Ηνωμενων Πολιτειων. Στο περιοδικο αυτο περιγραφοταν οι δυσκολιες που παρουσιαζει η ανιχνευση των κυματων βαρυτητας. Στην περιγραφη αναφεροταν οτι σε καθε περιοδο περιφορας ενος διπλου αστερος αντιστοιχει μια διπλη ταλαντωση των πειραματικων μαζων γυρω απο τις αρχικες τους θεσεις. Επομενως το αρθρο διατεινετο οτι με την συμπληρωση καθε ταλαντωσης οι μαζες επανερχονται στις αρχικες τους θεσεις. Τουτο μου φανηκε οτι ερχεται σε αντιφαση με το γεωμετρικο αναλλοιωτο το οποιο ηδη γνωριζα. Επιστρεφοντας στο σπιτι εκεινο το βραδυ εβαλα κατω τις εξισωσεις κινησεως πειραματικων μαζων σε εναν χωροχρονο με τις ασυμποτικες ιδιοτητες που γνωριζα και βρηκα οτι το γεωμετρικο αναλλοιωτο αντιστοιχει απλα σε μονιμη μετατοπιση των πειραματικων μαζων. Οι μαθηματικες μεθοδοι του εργου επι της ευσταθειας το χωροχρονου Μινκοφσκι διαφερουν ριζικα απο εκεινες ολων των προηγουμενων εργασιων στον τομεα των υπερβολικων εξισωσεων. Εν προκειμενω, ολες οι προηγουμενες εργασιες στις εξισωσεις Αινσταιν εξεταζαν τις εξισωσεις σε ενα συστημα συντεταγμενων οπου αναγονται σε ενα συστημα μη-γραμμικων κυματικων εξισωσεων και προσπαθουσαν να εκτιμησουν τις συνιστωσες της μετρικης σε αυτες τις συντεταγμενες. Στο εν λογω εργο, αντιθετως, η προσεγγιση ειχε να κανει με γεωμετρικες εκτιμησεις της καμπυλοτητος. Σε αυτες τις εκτιμησεις οι νορμες οριζονται απο ενα συνολο προσανατολισμενων προς το μελλον χρονοειδων ανυσματικων πεδιων, τα "πεδια πολλαπλασιαστες" καθως και απο ενα αλλο συνολο ανυσματικων πεδιων, τα "πεδια μεταθετες", ως προς τα οποια λαμβανονται παραγωγοι Λη. Τα δυο συνολα ανυσματικων πεδιων κατασκευαζονται με βαση την αιτιακη δομη του χωροχρονου οπως αυτη εκδηλωνεται στην γεωμετρια μιας φυλλωσεως απο χαρακτηριστικες υπερεπιφανειες. Το εν λογω εργο αποτελει την πρωτη μελετη τετοιων φυλλωσεων εν σχεσει με τις εξισωσεις Αινσταιν.
7. Το 1989, πριν ακομα ολοκληρωθει το εργο επι της ευσταθειας του χωροχρονου Μινκοφσκι, ειχα προσκαιρα επιστρεψει στο μοντελο του σφαιρικα συμμετρικου βαθμωτου πεδιου σε αλληλεπιδραση με την βαρυτητα, και ειχα αποδειξει οτι οταν το μεγεθος των αρχικων δεδομενων υπερβαινει ενα ακριβες κατω φραγμα, τοτε τελικα σχηματιζεται μια παγιδευμενη περιοχη στον χωροχρονο, δηλαδη μια περιοχη οπου οι μελλοντικοι φωτεινοι κωνοι εχουν επιφανεια διατομης που ελαττωνεται με τον χρονο. Επισης απεδειξα οτι τοτε η τελικη μαζα Μποντι ειναι θετικη, συμπληρωνοντας την εργασια που προανεφερα. Επισης οτι μια παγιδευμενη περιοχη καταληγει σε ενα ανωμαλο συνορο. Πρεπει να πω εδω οτι η εννοια της παγιδευμενης επιφανειας ειχε εισαχθει απο τον Πενροουζ το 1965 ο οποιος ειχε αποδειξει οτι ενας χωροχρονος που περιεχει μια τετοια επιφανεια δεν μπορει να ειναι πληρης. Οι μαθηματικες μεθοδοι του Πενροουζ δεν του επετρεπαν ομως να αποφανθει, ουτε πως δημιουργειται μια παγιδευμενη επιφανεια, ουτε τι συμβαινει στο συνορο. Με την ολοκληρωση του εργου επι της ευσταθειας του χωροχρονου Μικνοφσκι το 1991, επεστρεψα ξανα στο εν λογω μοντελο και ανελυσα πληρως την δομη του ανωμαλου συνορου. Επισης απεδειξα ενα απλο ακριβες κριτηριο για την αποφυγη της βαρυτικης καταρρευσης, η συνολικη μεταβολη των αρχικων δεδομενων να μην υπερβαινει ενα ανω φραγμα. Ο Πενροουζ ειχε διατυπωσει το 1969 μια εικασια που ελεγε οτι καθε ανωμαλια του χωροχρονου που σχηματιζεται, αποτελει καταληξη μιας παγιδευμενης περιοχης, επομενως δεν ειναι ορατη απο το απειρο. Η εικασια αυτη ονομαστηκε "κοσμικη λογοκρισια". Το 1992 προσπαθωντας να αποφανθω εαν η οχι ισχυει η εικασια αυτη στο πλαισιο του μοντελου του σφαιρικα συμμετρικου βαθμωτου πεδιου κατασκευασα μια οικογενεια λυσεων που προερχονται απο ομαλα αρχικα δεδομενα και στις οποιες σχηματιζονται γυμνες ανωμαλιες, δηλαδη ανωμαλιες ορατες απο το απειρο, σε αντιφαση με την εικασια του Πενροουζ. Το εργο μου στο εν λογω μοντελο κατεληξε το 1997 σε μια εργασια με τιτλο "Η Ασταθεια των Γυμνων Ανωμαλιων στην Βαρυτικη Καταρρευση ενος Βαθμωτου Πεδιου" οπου απεδειξα οτι στον χωρο των αρχικων δεδομενων το υποσυνολο που οδηγει σε γυμνες ανωμαλιες εχει θετικη συνδιασταση, επομενως πρεπει να θεωρηθει εξεραιτεο, και αρχικα δεδομενα που αντιστοιχουν στο συμπληρωμα του συνολου αυτου οδηγουν ειτε σε πληρη ομαλη λυση ειτε στον σχηματισμο παγιδευμενης περιοχης.
8. Κατα την περιοδο 1994-1998 ενδιαφερθηκα πολυ για την ευρυτερη περιοχη της κλασικης φυσικης του συνεχους, δηλαδη, εκτος απο την γενικη θεωρια της σχετικοτητος, για την μηχανικη των ρευστων, την μηχανικη των κρυσταλλινων στερεων, την μαγνητο-υδροδυναμικη, και την ηλεκτροδυναμικη των συνεχων μεσων. Η μελετη μου της μηχανικης των ρευστων ειχε αρχισει ηδη απο το 1991 και κατα την περιοδο 1995-1999 εκπονησα μια εργασια με τον Χανς Λιντμπλαντ περι της κινησης του ελευθερου συνορου ενος ασυμπιεστου υγρου. Τα γενικοτερα ενδιαφεροντα μου κατα την περιοδο 1994-1998 με εστρεψαν στην αρχη της στασιμου δρασεως, που ως γνωστον αποτελει την θεμελειωδη συνδετικη αρχη της κλασικης φυσικης. Σκοπος μου ηταν η αναπτυξη μιας γενικης μαθηματικης θεωριας των συστηματων μερικων διαφορικων εξισωσεων που προερχονται απο μια αρχη δρασεως, θεωρια που να περικλειει ολα τα παραδειγματα που προερχονται απο την κλασικη φυσικη. Η ερευνα αυτη κατεληξε σε μια μονογραφια 300 σελιδων με τιτλο "Η Αρχη της Δρασεως και οι Μερικες Διαφορικες Εξισωσεις". Το εργο αυτο περιεχει δυο κυρια θεματα. Το πρωτο ειναι η θεωρια των ολοκληρωτικων ταυτοτητων και αποτελει γενικευση του εργου της Νοεθερ. Βασιζεται στην εννοια των "συμβατων ρευματων" που εισαγεται εκει. Στην περιπτωση της μιας ανεξαρτητης μεταβλητης, οποτε εχουμε συνηθεις διαφορικες εξισωσεις, καθε ρευμα ειναι συμβατο. Στην περιπτωση των δυο ανεξαρτητων μεταβλητων εχουμε μια πληθωρα συμβατων ρευματων. Ομως στην περιπτωση των τριων η περισσοτερων ανεξαρτητων μεταβλητων και για μια γενικη δραση, οπως εκεινη της μηχανικης των ρευστων, εχουμε μονον μια κλαση συμβατων ρευματων. Το δευτερο θεμα που επεξεργαζεται η μονογραφια ειναι η εννοια της υπεβολικοτητος του συστηματος των εξισωσεων και η αιτιακη δομη της πολλαπλοτητος των ανεξαρτητων μεταβλητων που οριζεται απο μια λυση του συστηματος. Η εννοια της υπερβολικοτητος ειναι νεα και γενικης εφαρμογης στην φυσικη. Το θεωρημα του χωριου εξαρτησεως αποδεικνυεται χρησιμοποιοντας μια νεα εννοια, την σχετικη δραση.
9. Κατα την περιοδο 1999-2006 αφοσιωθηκα στις εξισωσεις Οιλερ της ροης των συμπιεστων ρευστων. Η προσπαθεια μου στον τομεα αυτον κατεληξε σε μια μονογραφια 1000 σελιδων με τιτλο "Ο Σχηματισμος Κυματων Κρουσεως στα Τρισδιαστατα Ρευστα". Αυτο το εργο αναλυει με καθε λεπτομερεια τι συμβαινει μετα απο αρκετο χρονο οταν εχουμε μια αυθαιρετη αρχικη διαταραχη σε μια πεπερασμενη περιοχη σε ενα τρισδιαστατο ρευστο με οποιαδηποτε εξισωση καταστασεως. Μετα απο ενα αρκουντως μακρο χρονικο διαστημα, που εξαρταται απο το μεγεθος της αρχικης διαταραχης, τα κυματικα μετωπα αποκτουν απειρη πυκνωση κατα μηκος ορισμενων επιφανειων στον χωροχρονο, απο οπου αναπτυσονται ασυνεχειες που ονομαζονται "κυματα κρουσεως". Το προβλημα εξεταστηκε για πρωτη φορα απο τον Ρημαν το 1858, ομως μονον στην υπεραπλουστευμενη περιπτωση της μιας χωρικης διαστασεως. Στο ενδιαμεσο διαστημα 148 ετων εμφανιστηκαν πολλα αξιοσημειωτα εργα επι του θεματος, ομως σχεδον αποκλειστικα περιοριζονταν στην μονοδιαστατη περιπτωση. Το εργο μου αντιμετωπισε το πραγματικο φυσικο προβλημα στις τρεις χωρικες διαστασεις και κατεληξε σε μια πληρη και λεπτομερη εικονα του σχηματισμου των κυματων κρουσεως. Υπαρχουν οψεις αυτης της εικονας που ουτε να φανταστει δεν θα μπορουσε κανεις επι τη βαση της μονοδιαστατης περιπτωσης. Η εννοια του χωροχρονου επαιξε και εδω σημαντικο ρολο, δεν ηταν ομως ο πραγματικος χωροχρονος αλλα αυτος που ονομασα "ακουστικος χωροχρονος" και αντιστοιχει, τροπον τινα, στην εμπειρια ενος τυφλου που μονο να ακουει μπορει. Το εργο περιεχει την πρωτη ενδελεχη μελετη της γεωμετριας του ακουστικου χωροχρονου και η αναλυση κτιστηκε στην βαση αυτης ακριβως της γεωμετρικης δομης. Η αναλυση ηταν αρκετα δυσκολοτερη απο εκεινη του εργου επι της ευσταθειας του χωροχρονου Μινκοφσκι, λογω του γεγονοτος οτι εμφανιζονται ανωμαλιες στην γεωμετρικη δομη οταν σχηματιζονται τα κυματα κρουσεως. Ο ακριβης τροπος κατα τον οποιο η γεωμετρικη δομη εκφυλιζεται με τον απειρισμο της πυκνωσης των κυματικων μετωπων, επρεπε πρωτα να εικασθει και κατοπιν να αποδειχθει, κατα την διαρκεια του συλλογισμου της ολης μαθηματικης αποδειξεως.
10. Ερχομαι τελος στο τελευταιο μου εργο που εχει να κανει παλι με τις εξισωσεις Αινσταιν της γενικης θεωριας της σχετικοτητος. Συνελαβα την κυρια ιδεα αυτου του εργου το 2004, καιρο κατα τον οποιο ημουν πληρως απασχολημενος με την προσπαθεια να υπερπηδησω τις δυσκολιες του προβληματος του σχηματισμου των κυματων κρουσεως. Οταν εκεινο το εργο ολοκληρωθηκε το 2006, συγκεντρωσα ολες μου τις δυναμεις στο καινουργιο εργο και καταφερα να το ολοκληρωσω μεσα σε δυο χρονια, το 2008. Καρπος της προσπαθειας αυτης ηταν μια μονογραφια 600 σελιδων με τιτλο "Ο Σχηματισμος Μελανων Οπων στην Γενικη Σχετικοτητα". Για να εχουμε μια σαφεστερη εικονα του αντικειμενου του εργου αυτου, ας θυμηθουμε την εννοια της παγιδευμενης επιφανειας που εισηγαγε ο Πενροουζ το 1965 και βαση της οποιας απεδειξε το θεωρημα του της μη-πληροτητος του χωροχρονου. Μια παγιδευμενη επιφανεια ειναι μια κλειστη χωροειδης επιφανεια στον χωροχρονο τετοια ωστε μια απειροστη μετατοπιση της επιφανειας κατα μηκος της καθε μιας απο τις δυο οικογενειες, προσανατολισμενων προς το μελλον, φωτοειδων καθετων, την εσωτερικη οικογενεια καθως και την εξωτερικη οικογενεια, οδηγει σε μειωση του στοιχειου εμβαδου, σε καθε σημειο της επιφανειας. Λιγο καιρο μετα το θεωρημα της μη-πληροτητος εδειχθηκε οτι, υπο την ιδια υποθεση της υπαρξης μιας παγιδευμενης επιφανειας, υπαρχει μια περιοχη του χωροχρονου που δεν μπορει να παρατηρηθει απο το απειρο, η μελανη οπη. Μια μεγαλη προκληση απο εκεινη την εποχη ηταν να βρει κανεις πως δημιουργουνται οι παγιδευμενες επιφανειες, αναλυοντας την δυναμικη της βαρυτικης καταρρευσης. Ισως πει καποιος οτι αυτο το κατορθωσα ηδη το 1989 με την μελετη του σχηματισμου παγιδευμενης περιοχης στην σφαιρικα συμμετρικη καταρρευση ενος βαθμωτου πεδιου. Αλλα αυτο ηταν απλα ενα μοντελο και οχι η πραγματικοτητα. Το ζητουμενο κατορθωθηκε στην εν λογω μονογραφια με την αποδειξη του σχηματισμου παγιδευμενων επιφανειων στο πλαισιο της καθαρης γενικης σχετικοτητος, δηλαδη απουσια υλης, δια της εστιασεως βαρυτικων κυματων. Η ιδεα να μελετηθει αυτο το προβλημα μου ειχε δοθει απο τον δασκαλο μου, τον Ουιλερ, το 1968. Μαλιστα επειδη ο Ουιλερ θεωρησε οτι το προβλημα παρουσιαζε ανυπερβλητες δυσκολιες μου εδωσε αντ αυτου να μελετησω το σφαιρικα συμμετρικο προβλημα ενος βαθμωτου πεδιου σε αλληλεπιδραση με την βαρυτητα, σαν προθερμανση ας πουμε. Οταν και αυτο αποδειχτηκε περαν των δυνατοτητων μου εκεινη την εποχη, τοτε μου υπεδειξε να μελετησω την εξαγωγη ενεργειας απο μια περιστρεφομενη μελανη οπη, πραγμα που οδηγησε στην πρωτη μου επιστημονικη εργασια και στο διδακτορικο διπλωμα το 1971, οπως προανεφερα. Αν ο Ουιλερ επεμενε στο αρχικο προβλημα, μολις το 2008 θα ειχα καταφερει να αποκτησω το διδακτορικο μου διπλωμα. Σε ηλικια 57 ετων θα ημουν τοτε σιγουρα ο γηραιοτερος νεος διδακτωρ! Τα θεωρηματα που αποδεικνυονται στην τελευταια αυτη μονογραφια μου αποτελουν την πρωτη εξερευνηση της μακροχρονης δυναμικης της γενικης σχετικοτητος οταν τα αρχικα δεδομενα δεν περιοριζονται πλεον σε μια μικρη γειτονια των τετριμμενων δεδομενων. Πριν απο αυτο το εργο, η θεωρια των μη-γραμμικων συστηματων μερικων διαφορικων εξισωσεων υπερβολικου τυπου, αν εξαιρεσουμε τα βασικα θεωρηματα τοπικης υπαρξης και μοναδικοτητας λυσεων, περιοριζοταν στην μελετη λυσεων που προερχονται απο αρχικα δεδομενα που λιγο αποκλεινουν απο τα τετριμμενα δεδομενα, η αλλως, στην μελετη λυσεων που εχουν μια τοσο υψηλη συμμετρια ωστε το προβλημα να αναγεται σε προβλημα σε εναν δυδιαστατο χωροχρονο. Η ταυτοχρονη αναιρεση τετοιων υποθεσεων συμμετριας και περιορισμων πανω στο μεγεθος της αρχικης αποκλισης απο τετριμμενα δεδομενα οδηγουσε σε μια χωρα εντελως ανεξερευνητη. Η κυρια νεα ιδεα της μονογραφιας, που ονομασα "μεθοδο του βραχεος παλμου", αξιοποιει την υποθεση οτι υπαρχει καπου στα αρχικα δεδομενα μια αποτομη αλλαγη, που θα μπορουσαμε να την παρομοιασουμε με μια γεωγραφικη περιοχη οπου το εδαφος παρουσιαζει μεγαλη κλιση, και μας επιτρεπει την καθολικη μελετη της αντιστοιχης λυσης, ριχνοντας φως σε μια περιοχη του επιστητου που δεν ειχε προηγουμενως χαρτογραφηθει. Υπαρχουν βασιμες ελπιδες οτι η μεθοδος του βραχεος παλμου θα εχει πολλες περαιτερω εφαρμογες.